Í ljósi gríðarlegrar eftirspurnar hef ég séð mig knúinn til að stofna þráð helgaðan stærðfræðiþrautum.
Æskilegast er að þrautirnar séu frumsamdar en einnig má hugsa sér endurbætt dæmi eða þrautir sem menn hafa séð á öðrum stöðum. Fyrirkomulagið er hugsað þannig að hver sá sem gefur fullnægjandi lausn á þraut fær ásamt heiðrinum, ábyrgðina um að kasta fram nýrri þraut.
Og hefst nú leikurinn.
Vladimir Fuckov og félagar í Varnarmálaráðuneytinu ætla sér að smíða nýja hátækniorustuflugvél, lengri og stórkostlegri en allar flugvélar sem smíðaðar hafa verið hingað til. Fljótlega komast þeir þó að því að flókið gangakerfi ráðuneytisins er til þónokkurra trafala þegar flytja á kóbaltbætta burðarbitana til réttra staða.
Ef við gefum okkur að „krappasta“ hornið sé eins og á mynd, hver er þá lengsti heili breiddar- og hæðarlausi biti sem mögulegt er að flytja fyrir það?
Ofan frá
___________
^ |
| |
b |
| |
v____ |
| |
| |
| |
|<--a-->|
Séð frá hlið
____________
| | ^
| | |
| | c
| | |
______|<--a-->| v
(Athugið að þetta er horn þar sem annar gangurinn hefur breidd a en hinn breidd b. Báðir hafa þeir hæð c. Taka verður tillit til allra þriggja víddanna við útreikninga.)
?
Það tilkynnist hér með að telji maður sig ekki ráða við þrautina er ekki nauðsynlegt að gefa það til kynna með einhverjum hætti. Þá þarf einungis að sýna þolinmæði og bíða eftir næstu þraut.
Ha? Ég náði ekki alveg hvað þú varst að fara með síðasta innleginu. Geturu sagt þetta aftur á djöflamáli?
Svarið er a
annars er þetta algerlega óskiljanlegt...
‹Strunsar út af sviðinu og skellir á eftir sér›
Í ljósi dræmra undirtekta er ef til vill rétt að einfalda dæmið. Ekki viljum við að þráðurinn beri rangnefni.
Fullnægjandi er að leysa dæmið í tveimur víddum, þ.e. sleppa má hæðinni c.
Við skiptum lengd bitans L upp í tvo hluta, l1 og l2. Bitinn sker ytri vegg gagngsins og horn hans og myndar einslæg horn við samsíða línur. Köllum hornið sem snýr inn að ganginum x. Nú, reglan um einslæg horn við samsíða línur segir okkur að sin(x) = a/l1 annars vegar og cos(x) = b/l2 hins vegar. Þá getum við séð að L(x) = l1 + l2 = a/sin(x) + b/cos(x).
Diffrum þetta m.t.t. x og fáum að L'(x) = 0 <=> b*sin(x)/cos^2(x) -a*cos(x)/sin^2(x) = 0. Einföldun gefur að tan^3(x) = a/b og þá x = arctan(þriðjarótin-af- a/b) [*]. Þar tekur L hágildi sitt. Setjum þetta inn í upphaflegu jöfnuna fyrir L og fáum að L = a/sin(*) + b/cos(*)..
Já, þetta var nú aldeilis skemmtilegt og sett fram á skiljanlegan hátt mjök.
Gott gott. Kíkið á þetta:
Finnið tölurnar a, b, og c þannig að rúmmál sporvölunnar x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 sem fer gegnum punktinn (1,2,1) sé sem minnst. Rúmmálið er gefið með R = 4*pí*a*b*c/3
Gott dæmi minn kæri Koeman.
Við viljum lágmarka rúmmálið f(a,b,c)= ⅓∙4πabc=V með takmörkununum g(a,b,c)=x²/a²+y²/b²+z²/c²-1. Við vitum einnig að sporvalan fer gegnum (x,y,z)=(1,2,1), svo g(a,b,c) verður 1/a²+4/b²+1/c²-1. Notum Lagrange til að lágmarka rúmmálið.
Skilgreinum fallið L(a,b,c,λ)=f(a,b,c) + λg(a,b,c)= ⅓∙4πabc+λ(1/a²+4/b²+1/c²-1) og deildum það með tilliti til tilheyrilegra breyta.
I. ∂L/∂a = ⅓∙4πbc-2λ/a³ = 0 => ⅓∙4πa³bc=2λ
II. ∂L/∂b = ⅓∙4πac-8λ/b³ = 0 => ⅓∙4πab³c=8λ
III. ∂L/∂c = ⅓∙4πab-2λ/c³ = 0 => ⅓∙4πabc³=2λ
IV. ∂L/∂λ = 1/a²+4/b²+1/c²-1 = 0
Ef við tökum jöfnur I. og III. saman fæst að a=c. Að því gefnu gefa jöfnur I. og II. að 2a=b. Við stingum þeim upplýsingum inn í jöfnu IV. þannig að hún verði einungis fall af a og fáum að a²=¼b²=c²=3 => a=c=√3 og b=2√3. Og gefa þær tölur göldrum líkast minnsta mögulega rúmmál sporvölunnar.
Það er hrein unun, Kóvasevítsj, að sjá hversu stærðfræðin leikur í höndum þínum. Þetta er að sjálfsögðu hárrétt og þú átt nú leikinn.
