Ég hugsa mér tvær heiltölur á bilinu einn og upp í 100. Ég á tvo vini, S og M heita þeir, og gef ég S upp summu talnanna tveggja en M gef ég margfeldi þeirra. Nú veit M að S veit summuna og eins veit S að M veit margfeldið.
Nú hefst kostulegt samtal þeirra tveggja;
M : Ég veit ekki hvaða tvær tölur voru valdar.
S : Ekki ég heldur en ég vissi að þú myndir ekki vita það.
M : Nú veit ég hvaða tölur þetta eru.
S : Nú veit ég það líka.

Vinir mínir eru mjög heiðarlegir og segja satt frá, einnig eru þeir mjög greindir. Hvaða tölur valdi ég mér?

Þetta er ekki auðvelt. Ég má vitaskuld gera ráð fyrir að tölurnar séu náttúrulegar tölur, ekki satt?. Annars væri ógerningur að finna lausn.

Þetta þykir mér ómögulegt að leysa, ég held minn kæri að þú verðir að útiloka það að önnur hvor talan sé 1

ég veit alveg hvaða tölur þetta eru.Mér dettur bara ekki í hug að skemma fyrir með því að segja frá því

Mikið áttu skynsama vini.

Það er nokkuð ljóst að talan sem M fékk er eitthvert algengt margfeldi. Kannski 24, 36, eða 72 sem dæmi...

S er með summuna....arggh, ég er ekki nógu skynsamur...

Eru þeir á lausu? Eru þeir myndarlegir? Hvað er símanúmerið hjá þeim?

En mig grunar samt að prímtölur komi svarinu við talnaspurningunni eitthvað við... þarf að hugsa þetta aðeins betur.

2 og 3
2x3 = 6
2+3 = 5

M veit að S er í vanda.
M sér töluna 6 og ályktar:

Ef það væru 1 x 6 = 6 væru þær tvær samanlagt 7. Ef S sér 7 hjá sér þá þarf hann að prófa saman allar þær tölur sem leggjast saman í 7 (1+6, 2+5, 3+4) => vandamál hjá S.
Ef það eru 2 x 3 = 6 þá sér S hins vegar töluna 5 og þá er eina val hans 1+4 eða 2+3. Það getur ekki verið 1+4 því þá ætti ég ekki í vandræðum. Af því leiðir að tölurnar eru 2 og 3.

athugum þetta:
gefum okkur parið (2,3)
S = 5
M = 6

M : Ég veit ekki hvaða tvær tölur voru valdar.
- stemmir því pörin (2,3) og (1,6) koma til greina
S : Ekki ég heldur en ég vissi að þú myndir ekki vita það.
- stemmir því hann vissi að M væri annað hvort með 4 eða 6 (1*4) eða (2*3) og ef hann væri með fjóra þá myndi M sjá að pörin (1*4) og (2*2) kæmu bæði til greina
M : Nú veit ég hvaða tölur þetta eru.
- nei, M getur ekki enn útilokað að upprunalega parið hafi verið (1,6) vegna þess að ef S er með 7 þá hefði hann líka vitað að M gæti ekki vitað hvort upprunalega parið var (1,6)(2,5)eða(3,4) þannig að síðasta setning S fól ekki í sér neinar nýjar upplýsingar
S : Nú veit ég það líka.
- neineineineinei

málið er að ef að talan 1 er leyfð þá koma alltaf of margir möguleikar til greina til þess að þetta samtal hafi átt sér stað

Eins og fram kom í pósti mínum hér að framan tel ég þetta óframkvæmanlegt ef velja má töluna 1 í parið en að því gefnu að það sé óleyfilegt þá er þetta leysanlegt á eftirfarandi hátt:
Þú valdir þér tölurnar 4 og 13, margfeldi M er 52 (eins og í spilastokknum) og summa S er 17.
Skoðum nú samtalið með þetta að grundvelli:
M : Ég veit ekki hvaða tvær tölur voru valdar.
- stemmir, því aðrar tölur geta gefið 52 sem margfeldi, (2*26)
S : Ekki ég heldur en ég vissi að þú myndir ekki vita það.
- stemmir, því öll talnapör sem hafa 17 sem summu deila margfeldi sínu með öðrum talnapörum (sbr. parið (4,13) deilir margfeldi sínu(52) með parinu(2,26)
M : Nú veit ég hvaða tölur þetta eru.
- stemmir, því ef parið hefði verið (2,26) þá hefði S haft summuna 28 og ekki getað útilokað að parið væri 11+17, og þar með hefði S getað búist við því að M hefði vitað svarið um leið og hann sá margfeldi sitt
S : Nú veit ég það líka.
- ...og hér verða hlutirnir flóknir

Svo ég útskýri frekar, ef þú ert M og færð margfeldið 52, þá koma aðeins tvö pör til greina; 2*26 og 4*13 og gefa þau summurnar 28 og 17.
Þú veist semsagt að S er annaðhvort með 17 eða 28.
Ef S fær summuna 28, þá veit hann að ef parið sem gaf hana samanstóð af 2 prímtölum þá veist þú hvað talnaparið var, það er, ef parið var 17 og 11 þá er margfeldið 187 sem aðeins tölurnar 11 og 17 ganga upp í, en þar sem S var þess fullviss að þú hafir ekki vitað svarið þá hlaut S að vera með töluna 17, þegar M fattar það er leikið mál fyrir hann að finna hvert parið var.
Þá snúum við okkur að því hvernig S fattaði hverjar tölurnar voru og það er nokkuð flóknara, hann er nefnilega bara með summuna 17 og talnapörin sem koma til greina fyrir hann eru (2+15),(3+14),(4+13),(5+12),(6+11),(7+10) og (8+9)
Hann þarf þessvegna að íhuga hvernig M gat fattað tölurnar sýnar út frá fullyrðingu hans. Til þess er best að skoða prímþætti margfeldis hugsanlegra talnapara S og mögulega þáttun þeirra í pör
(2*15) = 30 = 2*3*5 -> 6*5, 3*10
(3*14) = 42 = 2*3*7 -> 2*21, 6*7
(4*13) = 52 = 2*2*13 -> 2*26
(5*12) = 60 = 2*2*3*5 -> 2*30, 4*15, 6*10, 3*20
(6*11) = 66 = 2*3*11 -> 2*33, 3*22
(7*10) = 70 = 2*5*7 -> 2*35, 5*14
(8*9) = 72 = 2*2*2*3*3-> 2*36, 4*18, 24*3, 12*6
Hér eru pörin hægra megin við örvarnar (->) röng pör sem S veit að M þyrfti að íhuga ef parið vinstra megin við = merkið væri grundvöllur summunnar 17 sem S er með
S veit semsagt á þessu stigi að svar hans hefur útilokað alla svarmöguleika hægra megin við ör í einni línunni hér að ofan og leift M þannig að giska á rétt svar
S áttar sig á því að hann getur aðeins útilokað þau pör sem hafa summu sem hægt er að tákna sem summu tveggja prímtalna í samræmi við það sem farið var í hér að ofan, því þurfa öll pörin hægra megin við örina að hafa summu sem er táknanleg sem summa tveggja prímtalna
til að gera langa sögu stutta þá er parið (4,13) það eina sem kemur til greina því eftirfarandi tölur er ekki hægt að tákna sem summu tveggja prímtalna; 11,13,19,35,37 og 27

Eins og glöggir lútar hafa áttað sig á þá hef ég einungis sýnt fram á að til er eitt par sem getur leitt til þessa skemmtilega samtals S og M, ég hef hinsvegar ekki sýnt fram á að þetta sé EINA parið sem kemur til greina og því er þetta ófullkomið, en ég ber fullt traust til gátumeistara til að útskýra fyrir okkur afhverju aðeins eitt par kemur til greina
(á öðrum nótum þá finnst mér nöfn vina þinna, S og M, afar lýsandi nöfn þegar haft er í huga hverjir rembast við svona þrautir)

Iss, ég kann víst ekki að lesa, því þetta stendur nefnilega í dæminu. Bara með öðrum orðum ( á máli stærðfræðinnar: Z+ = N )

Svarið er Lifrarpylsa!

Ætti þetta ekki annars heima í leikjabálkinum okkar?

Rétt til getið Ívar.

Alveg ótrúlegt.

Maðurinn er meistari

Ég myndi óska þess að allir myndu taka Ívar til fyrimyndar. Hann er sá eini sem leggur einhvern metnað í innlegg sín. Þetta á sérstaklega við um þig Glúmur.

Vel gert Glúmur. Má ég spurja hvernig þú dast niður á þessa tvennd.
‹Starir þegjandi út í loftið›
Ekki vænti ég að þú hafir komið nálægt IMO á þínum ferli?

IMG

Ég veit ekki alveg hvað þið eigið við með IMO og IMG , ég tel þó nokkuð víst að ég hafi eigi komið nálægt téðum skammstöfunum - sérstaklega vil ég taka það fram að ég er á engan hátt tengdur Gallup-SímSpam hf.